SAYILAR
1. Doğal Sayılar
2. Bölünebilme-EBOB ve EKOK
3. Tam Sayılar
4. Rasyonel Sayılar
5. Üslü Çokluklar
6. Ondalık Sayılar
7. Matematik Sistemler
8. İrrasyonel Sayılar
Doğal Sayılar
Doğal Sayılar Kümesi:
Sayma sayıları kümesine 0(sıfır) sayısını katarsak,doğal sayılar kümesini elde ederiz.Doğal sayılar kümesi N ile gösterilir.
N={0,1,2,3,4,5...}
Not:
1. İki basamaklı ab doğal sayısı;
Ab=a.10+b.1=10a+b dir.
2. Üç basamaklı abc doğal sayısı;
Abc=a.100+b.10+c.1=100a+10b+c dir.
Örnek:
Her biri en aza iki basamaklı olan 8 tane sayı vardır.Bunlardan her birinin birler basamağındaki rakam sayısal değerler bakımından 2 küçültülür,onlar basamağındaki rakam 2 büyültülürse bu 8 sayının toplamı ne kadar artar?
Çözüm:
İki basamaklı herhangi bir sayı alalım.Bu sayı 45 olsun.
Birler basamağı 2 küçültülürse sayı 43 olur.
Bu sayı 45-43=2 küçülür.
Onlar basamağı 2 büyürse sayı 65 olur.
Bu sayı:65-45=20 büyür.
1 sayıdaki artış = 20-2=18 dir.
8 sayıdaki artış = 8.18= 144 olur.
Uyarı:
1. Bir sayının birler basamağındaki rakam; x kadar artırılıp veya azaltıldığında, bu sayıda x kadar artar veya azalır.
2. Bir sayının onlar basamağındaki rakam; x kadar artırılıp veya azaltıldığında, bu sayı 10x kadar artar veya azalır.
Tek Ve Çift Doğal Sayılar:
· Çift doğal sayılar kümesi:
Ç={0,2,4,6,8...} dir.
2n daima çift sayıdır.
· Tek doğal sayılar kümesi:
T={1,3,5,7,9...} dur.
2n+1 daima tek sayıdır
Sonuç: Ç - çift sayı, T – tek sayı ise;
· Ç+Ç=Ç
· Ç+T=T
· T+T=Ç
· Ç.Ç=Ç
· T.Ç=Ç
· T.T=T
Ardışık Doğal Sayılar:
Her biri kendinden önce gelene belli bir kural ile bağlı olarak sıralanmış sayılara ardışık doğal sayılar denir.Bu sayıların her birine dizinin terimi denir.
Dizinin Terim Sayısı:
Terim sayısını n ile gösterelim.
n = Son terim – İlk terim +1
Artım miktarı
Örnek:
1, 2, 3,... , 35 dizinin terim sayısı kaçtır?
Çözüm:
N= 35 – 1 +1=35
1
Uyarı: 1’den başlayan ardışık sayma sayılarında terim sayısı son terim kadardır.
N= son terim
Ardışık Doğal Sayıların Toplamı
Toplam için aşağıdaki formül uygulanır.
Toplam = (İlk terim + son terim) . terim sayısı
2
Örnek:
1+2+3+4+.......... + 99 =?
Çözüm: n=Son terim=99
Toplam = (1+99) . 99 = 100.99 = 450
1 2
Ardışık Tek Doğal Sayıların Toplamı:
Toplam = (İlk Terim+Son Terim) . Terim Sayısı)
2
Örnek:
1+3+7+ .......+121=?
Çözüm:
n= 121 – 1 +1 =61
2
Uyarı: 1’den başlayan (n) tane ardışık tek doğal sayının toplamı, n2 formülü ile de bulunur.
N=61 ise
Toplam= n2 = (61)2 = 3721
Ardışık Çift Doğal Sayılar:
Toplam= (ilk terim+ son terim) .terim sayısı
2
Örnek:
2+4+6+ .....+ 150=?
Çözüm:
n= 150-2 +1= 75
2
Toplam= (2+150) .75
2
= 5700
Bölünebilme – EBOB ve EKOK
Bölünebilme:
Bölme Özellikleri:
· Her sayının kendisine bölümü 1’dir. 36:36=1
· Her sayının 1 ile bölümü kendisidir. 19:1=19
· Sıfırın kendisinden farklı her sayıya bölümü sıfırdır. 0:7=0
· Bir sayının sıfıra bölümü tanımsızdır. 3:0= tanımsız
Bölünebilme Kuralları:
2 ile Bölünebilme:
Birler basamağında sıfır veya çift olan her doğal sayı 2 ile tam bölünebilir.
Örnek: 1400, 2456
5 ile Bölünebilme:
Birler basamağı sıfır veya 5 olan her doğal sayı 5 ile tam bölünür.
Örnek: 2545, 3950
Uyarı: Bir sayının 5 ile bölümünden kalanı bulmak için birler basamağına bakılır.Birler basamağı 5’den küçük ise kalan kendisidir.5’den büyük ise birler basamağından 5 çıkarılır.Fark kalandır.
543:5 – Kalan=3
10 ile Bölünebilme:
Birler basamağı sıfır olan her doğal sayı 10 ile tam bölünebilir.
Örnek: 3750, 5900
4 ile Bölünebilme:
Son iki basamağı 00, 4 veya 4’ün katı ise bu doğal sayı 4 ile tam bölünebilir.
Örnek: 1200, 1516
Uyarı: Bir sayının 4 ile bölümünden kalanı bulmak için son iki basamağına bakılır.Son iki basamağını oluşturan sayı 4’ten küçük ise kalan kendisidir. 4’ten büyük ise 4 ile bölümünde kalan eşittir.
1302:4 – Kalan= 2
25 ile Bölünebilme:
Son iki basamağı 00, 25 veya 25’in katı ise bu doğal sayı 25 ile tam bölünebilir.
Örnek: 1200, 1250
Uyarı:Bir sayının 25 ile bölümünden kalanı bulmak için son iki basamağına bakılır.Son iki basamağı oluşturan sayı 25’ den küçük ise kalan kendisidir.25’den büyük ise 25 ile bölümünden kalan eşittir.
34812:25 – Kalan=12
3 ile Bölünebilme:
Bir sayının rakamlarının sayı değerlerinin toplamı 3 veya 3’ün katı ise bu doğal sayı 3 ile tam bölünebilir.
Örnek: 1353, 360
Uyarı: Bir sayının 3’e bölümünden kalan rakamları toplamının 3’e bölümünden kalana eşittir.
478:3 – (4+7+8) :3 – Kalan=1
9 ile Bölünebilme:
Bir sayını rakamlarının sayı değerlerinin toplamı 9 veya 9’un katı ise bu doğal sayı 9 ile tam bölünebilir.
Örnek: 9999, 4050
Uyarı: Bir sayını 9’a bölümünden kalan, rakamları toplamının 9’a bölümünden kalana eşittir.
786:9 – (7+8+6) :9 – Kalan=3
11 ile Bölünebilme:
Verilen sayıların rakamları sağdan sola doğru birer basamak atlayarak toplanır.Arada kalanlar da toplanır.Bulunan sayıların farkı sıfır 11 veya 11’in katı ise bu sayı 11 ile tam bölünebilir.
Örnek: 96943
9+9+3-(6+4)=21-10=11
O halde bu sayı 11 ile tam bölünür.
6, 12, 15, 18 Sayıları ile Bölünebilme:
Bu sayıları çarpanları yazılır.Çarpanların 1’in dışında ortak böleni olmamalıdır.
· 6= 2 . 3 (Hem 2 hem de 3 ile bölünebilen sayılar 6 ile tam bölünebilir.)
· 12=3 . 4 (Hem 3 hem de 4 ile bölünebilen sayılar 12 ile tam bölünebilir.)
· 15=3 . 5 (Hem 3 hem de 5 ile bölünebilen sayılar 15 ile tam bölünebilir.)
· 18=2 . 9 (Hem 2 hem de 9 ile bölünebilen sayılar 18 ile tam bölünebilir.)
EBOB ve EKOK
Asal Sayı:
1 ve kendisinden başka böleni olmayan, 1’den büyük doğal sayılara asal sayı denir.
Asal Sayılar Kümesi: = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ....}
Uyarı: 2 hariç tüm asal sayılar tektir.
Aralarında Asal Sayılar:
Birden başka ortak böleni olmayan doğal sayılara aralarında asal sayılar denir.
Örnek:
5 ile 19’un 1’den başka ortak böleni olmadığından aralarında asla sayılardır.
Asal Çarpanlara Ayırma:
Bir sayı asal çarpanlarına ayrılırken o sayı küçükten büyüğe doğru sıra ile kendisini tam olarak bölen asal sayılara bölünür.
Örnek: 180 sayısını asal çarpanlarına ayıralım.
180 | 2
2 | 2
3 | 3
4 | 3
5 | 5
6 |
180 = 22 . 32 . 5
EBOB:
Verilen sayıların hepsini bölebilen en büyük sayı bu sayıların ebob ‘dur.
Örnek: 180 ve 210 sayılarının ebob’unu bulalım.
Çözüm:
180 210 | 2
90 105 | 2
45 105 | 3
15 35 | 3
5 35 | 5
7 7 | 7
8 |
(180, 210)ebob = 2. 3 . 5 = 30
· 30 sayısı 180 ve 210’un her ikisini de bölen en büyük sayıdır.
EKOK:
Verilen sayıların hepsine bölünebilen en küçük sayıya bu sayıların ekok’ u denir.
Örnek: 90 ve 60 sayılarını ekok’nu bulalım.
60 90 | 2
30 45 | 2
15 45 | 3
5 15 | 3
5 5 | 5
1 1 | 7
(60, 90)ekok = 22 . 32 . 5 =180
Uyarı: İki doğal sayının Ebob’i ile Ekok’ının çarpımı, bu sayıların çarpımına eşittir.
A ve B doğal sayılar ise;
A x B = (A, B)ebob x (A, B)ekok
Tam Sayılar
Tam Sayılar:
Pozitif tam sayılar, negatif tam sayılar ve sıfırın oluşturduğu kümeye tam sayılar kümesi denir.(Z) ile gösterilir.
Pozitif tam sayılar kümesi:
Z+ ={+1,+2,+3,+4,+5, ...}
Negatif tam sayılar kümesi:
Z- ={..., -5,-4,-3,-2,-1}
Tam sayılar kümesi:
Z ={..., -2,-1,0,1,2,3,4,5,6,...}
Tam Sayıların Özellikleri:,
· En küçük pozitif tam sayı 1’dir.
· En büyük negatif tam sayı –1’dir.
· Pozitif tam sayılar sıfırdan büyüktür.
· Negatif tam sayılar sıfırdan küçüktür.
Z-1 < 0 < Z+
Örnekler:
9 > 3
-7 < -3
Mutlak Değer:
Bir tam sayının eşlendiği noktanın, başlangıç noktasına olan uzaklığına o tam sayının mutlak değeri denir.
Bir a tam sayısının mutlak değeri |a| ile gösterilir.
|-1|=1
|+1|=1
Uyarı:
· Sıfırdan farklı bir tam sayının mutlak değeri daima pozitif sayıdır.
| a | = | -a| = a’dır.
· Sıfırın mutlak değeri sıfırdır. (| 0 | = 0)
Örnekler:
| -5 | = |5| = 5
| -7 | > | -5 |
Tam Sayılarda İşlemler:
Toplama:
· Pozitif iki tam sayının toplamı pozitif bir tam sayıdır.
4+6=10
· Negatif iki tam sayının toplamı negatif bir tam sayıdır.
(-4) + (-6) = -10
· Zıt işaretli iki tam sayı toplanırken; Bu sayıların mutlak değerlerinin farkı alınır ve mutlak değeri büyük olanın işaretin sonucun işareti olur
(+6) + (-4)= +2
+3 + -7 = -4
Çıkarma:
Tam sayılarda çıkarma yapılırken çıkanın işareti değiştirilerek, eksilen sayı ile toplanır.
Örnekler:
+5 – (-2) = +5 +(-2) =+3
+6 – (-1) = +6 +(+1) = +7
Çarpma:
· Aynı işaretli iki tam sayının çarpımı pozitiftir.
Örnekler:
6 . 2 =12
-8 . –3 = +24
· Ters işaretli iki tam sayının çarpımı negatiftir.
-3 . +4 = -12
-1 . 6 = -6
Bölme:
· Aynı işaretli iki tam sayının bölümü pozitiftir.
12 : 3 = 4
-9 : -1 = +9
· Ters işaretli iki tam sayının bölümü negatiftir.
24 : -8 = -3
-13 : 1 = -13
Rasyonel Sayılar
Kesir:
A ve B tamsayı, a şeklinde yazılan sayılara kesir denir.
B
a Þ pay
b Þ payda
10 kesrine denk olan kesirler kümesi;
2
A={2, 3 }
11 6
Rasyonel Sayı:
Denk kesirlerin oluşturduğu her kümeye rasyonel sayı denir. Rasyonel sayılar “Q” ile gösterilir.
Sıfırdan büyük olan rasyonel sayılara pozitif rasyonel sayılar, sıfırdan küçük rasyonel sayılara negatif rasyonel sayılar denir.
Bir rasyonel sayını işareti; bölü çizgisinin önüne, paya veya paydaya konulabilir.
_ 3 = -3 = 3
4 4 -4
Kesir Çeşitleri:
Basit Kesir:
Payı paydasından, mutlak değerce küçük olan kesirlere basit kesir denir.
Örnek: 3 , 5
5 9
Bileşik Kesir:
Payı paydasından, mutlak değerce büyük olan kesirlere bileşik kesir denir.
Örnek: 13 , 5
12 2
Tam Sayılı Kesir:
Önünde tamsayısı olan kesirlere denir. Her bileşik kesrin içinde tam sayı vardır.
Örnek: 3 4
5
Kesirleri Birbirine Çevirmek:
· Tam sayılı kesri bileşik kesre çevirirken; payda ile tamsayının çarpımına pay eklenir, pay olarak yazılır. Payda aynen yazılır.
13 2 = 4 . 5 + 2 = 22
5 5 5
· Bileşik kesri tam sayılı kesre çevirirken; payda ile tam sayının çarpımına pay eklenir, pay olarak yazılır. Payda aynen yazılır.
25 = 6 1
14 4
Uyarılar: Pozitif kesirlerde;
· Pay > payda ise kesir 1’den büyüktür.
· Pay < payda ise kesir 1’den küçüktür.
· Pay = payda ise kesir 1’e eşittir.
Kesirlerin Genişletilmesi:
Bir kesrin pay ve paydasının, sıfırdan farklı bir sayı ile bölersek kesri sadeleştirmiş oluruz. Bir kesir sadeleştirilirse değeri değişmez.
Örnek: 125 = 125: 25 = 3
75 75 : 25 5
Rasyonel Sayılar Kümesinde İşlemler:
Toplama:
Paydalar eşitlenip toplama işlemi yapılır. Tam sayıları kesre katma zorunluluğu yoktur.
a + c = a .d + b . c
b d b . d
Örnekler: 3 + 2 = 3 . 5 + 2 . 4 = 23 = 1 3
4 5 4 . 5 20 20
Çıkarma:
Paydalar eşitlenip çıkarma işlemi yapılır. Tam sayıların kesre katma zorunluluğu yoktur.
a - c = a . d – b .c
b d b .d
Örnek:
4 – 1 = 5
7 3 21
Çarpma:
· Tam sayı varsa kesre katılır.
· Sadeleştirme varsa yapılır.
· Paylar çarpılır pay olarak, paydalar çarpılıp payda olarak yazılır.
Örnek: 8 . 5 = 5
15 2
Bölme:
· Tam sayı varsa kesre katılır.
· Birinci kesir aynen yazılır, ikinci kesir ters çevrilip ters çapılır.
Örnek:
-3 : 3 = - 3 . 7 = -7
7 1 3
Arada Olma:
İki rasyonel sayının ortasındaki sayı bulunurken; ikisi toplanır, ikiye bölünür.
Örnek: 1 ile 1 ’ün ortasındaki rasyonel sayıyı bulalım.
16 4
Çözüm: ( 1 + 1 ) : 2 = 7 . 1 = 7
3 4 12 2 24
Rasyonel Sayılarda Sıralama:
Pratik Sıralama:
· a ve c pozitif rasyonel sayılarda ise;
b d
a c ifadesinde içler dışlar çarpımı yapalım.
B d
a . d > c . b Þ a > c
b d
· a ve c negatif rasyonel sayılar ise,
b d
işareti paya alarak aynen yukarıdaki madde uygulanır.
Üslü Çokluklar
Üs Kavramı:
(a) reel sayı ve (m) bir pozitif tamsayı olmak üzere; am ifadesi, m tane (a) nın çarpımını gösterir.
am = a . a . a...a şeklinde gösterilir.
Örnekler:
23 = 2 . 2 . 2 =8
52 = 5 . 5 = 25
Özellikler:
· Sıfırdan farklı bir sayını sıfırıncı kuvveti 1’e eşittir.
am = a0 = 1
Örnekler: 30 = 1
· Bir sayının birinci kuvveti kendisine eşittir.
am = a1 = a
Örnekler: 21 = 2
· Bir kesrin kuvvetini almak için pay ve paydasının ayrı ayrı kuvvetleri alınır.
( a )m = am
b bm
Örnekler: ( 2 )5 = 25 = 32
3 35 243
· Üslü bir ifadenin kuvveti alınırken üsler çarpılır.
(am)n = am . n
Örnekler: ( 23)2 = 23 . 2 = 26 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 64
· a ¹ 0 reel sayı ve m bir pozitif tamsayı için;
a-m = 1
am
Örnekler: 23 = 1 = 1
23 8
· Bir kesrin üssü negatif ise kesir ters çevrilip üssü pozitif yapılır.
( a )-m = ( b )m
b a
Örnekler: ( 2 )-3 = ( 3 )3 =27
3 2 8
Tek veya Çift Kuvvetler:
(-2)4 = (-2) .(-2) . (-2) . (-2) = +16
Sıfırdan farklı bir sayını;
· Çift kuvvetleri pozitiftir.
· Tek kuvvetleri ise bu sayı ile aynı işaretlidir.
Üslü İfadelerde Toplama ve Çıkarma:
Örnek: 3a5 –8a5 + a5 toplamının sonucu nedir?
Çözüm: a5 ’lerin katsayılarını toplayalım.
(3-8+1) a5 = 4a5
Üslü İfadelerde Çarpma:
· Tabanları aynı üsleri farklı olan üslü ifadeler çarpılırken ortak taban, taban olarak alınır. Üsler toplanıp üs olarak yazılır.
am . an = am+n
· Tabanları farklı üsleri aynı olan üslü ifadeler çarpılırken tabanlar çarpılıp taban olarak yazılır ortak üs, üs olarak yazılır.
am . bm = (a+b)m
· Tabanları ve üsleri farklı molan üslü ifadeler çarpılırken, önce kuvvetler alınır sonra çarpma işlemi yapılır.
Örnek: 23 . 52 = 8 . 25 = 200
Üslü İfadelerde Bölme:
· Tabanları aynı üsleri farklı olan üslü ifadeler bölünürken ortak taban, taban olarak alınır, üsler çıkarılıp üs olarak yazılır.
am = am – n
an
Örnekler: 28 = 28-5 = 23 = 8
25
· Tabanları farklı üsleri aynı üslü ifadeler bölünürken; tabanlar bölünüp taban olarak alınır. Ortak üs üs olarak yazılır.
Örnekler: ( 81 )4 = 34 = 81
27
· Tabanları ve üsleri farklı olan üslü ifadeler bölünürken tabanlar bölünüp önce kuvvetler açılır sonra bölme işlemi yapılır.
Üslü Denklemler:
Üssünde bilinmeyen bulunan denklemlere üslü denklemler denir.
Örnek: 92x – 3 = 27x –1 ise x’i bulalım.
Çözüm: (32)2x – 3 = (33)x – 1
4x – 6 = 3x - 3
x = 3 bulunur.
Ondalık Sayılar
Ondalık Sayı:
Paydası 10, 100, 1000, ... gibi 10’un kuvvetleri olan kesirlere ondalık kesirler, bu kesirlerin belirttiği sayılara ondalık sayılar denir.
Örnek: 3 = 0,3
10
Rasyonel Sayıyı Ondalık Sayıya Çevirmek:
Rasyonel sayıyı ondalık sayıya çevirirken;
· Payındaki sayıyı paydasındaki sayıya böleriz
Veya;
· Paydasındaki sayıyı 10’un kuvveti olarak yazdıktan sonra çeviririz.
Örnek: 3 rasyonel sayısını ondalık sayıya çevirelim.
5
Çözüm: 3 = 3 . 2 = 6 = 0,6
5 5 . 2 10
Ondalık Sayıyı Rasyonel Sayıya Çevirmek:
Ondalık sayıyı rasyonel sayıya çevirirken;
· Tam kısmı varsa yazılır.
· Paydası 10’un kuvveti olarak yazılır.
· Virgülden sonraki sayı da paya yazılır.
· Sadeleştirme varsa yapılır.
Örnek: 0,25 = 25 = 1
100 4
Devirli Ondalık Sayıyı Rasyonel Sayıya Çevirmek:
1. Basit Devirli Ondalık Sayı:
Basit devirli ondalık sayıları rasyonel sayılara çevirirken;
· Tam kısmı varsa tam sayı olarak yazarız.
· Devreden sayıyı paya yazarız
· Devreden rakam sayısı kadar 9’u da paydaya yazarız.
0,3 = 3 = 1
9 3
2. Bileşik Devirli Ondalık Sayı:
Bileşik devirli ondalık sayıları, rasyonel sayılara çevirirken;
· Tam kısmı varsa tam sayı olarak yazılır.
· Virgülden sonraki sayıdan, virgülden sonraki devretmeyen sayıya çıkarıp paya yazarız.
· Virgülden sonra devreden rakam sayısı kadar 9, devretmeyen rakam sayısı kadarda sıfırı paydaya yazarız.
Örnek: 0,78 = 78-7 = 71
90 90
Ondalık Sayılarda Toplama:
Ondalık sayılar toplanırken tamsayılı kısımlar alt alta gelecek şekilde yazılır ve toplanır. Sonra virgül aynı hizadan ayrılır.
Örnek: 3,045 + 12,14 = 15,185
Ondalık Sayılarda Çıkarma:
Ondalık sayılarda çıkarma yapılırken gene tamsayılı kısımlar alt alta gelecek şekilde yazılır ve çıkarma işlemi yapılır. Sonra virgülle aynı hizadan ayrılır.
Örnekler: 315,08 – 9,215 = 305,865
Ondalık Sayılarda Çarpma:
Ondalık sayıların çarpımı yapılırken virgül yokmuş gibi çarpılır. İşlem sonunda çarpılan sayıların virgülden sonraki basamak sayıları toplamı kadar, sağdan sola doğru virgülle ayrılır.
Örnek: 3,42 . 2,7 = 9,234
10, 100, 1000 ile Çarpmak:
Ondalık sayıları 10 ile çarparken virgül bir basamak sağa , 100 ile çarparken virgül iki basamak sağa kaydırılır. Yani sıfır sayısı kadar basamak soldan sağa doğru virgülle ayrılır.
Örnek: (3,42) . (10) = 34,2
Ondalık Sayılarda Bölme:
Ondalık sayılarda bölme işlemi yaparken böleni virgülden kurtarırız. Böleni virgülden kurtarırken kaçla çarpmışsak, bölüneni de aynı sayı ile çarpar, normal bölme işlemi yaparız.
Örnek: 63 : 4,2 = 15
10, 100, 1000 ile Bölmek:
Ondalık sayıların 10’a bölerken virgül bir basamak sola, 100’e bölerken virgül iki basamak sola kaydırılır. Yani sıfır sayısı kadar basamak sağdan sola doğru virgülle ayrılır.
Örnekler: (312,4) : 10 = 31,24
Ondalık Sayılarda Sıralama:
Pozitif ondalık sayıları karşılaştırırken;
· Tam sayılara bakarız. Tam sayısı büyük olan kesir daha büyüktür.
Tam sayılar eşit ise;
· Onda birler basamaklarına bakarız. Hangisi büyükse o kesir daha büyüktür.
Onda birler basamakları eşit ise;
· Yüzde birler basamaklarında bakarız. Hangisi büyükse o kesir daha büyüktür.
Örnek: 0,475 ; 3,7 ; 2,08 sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayalım.
Çözüm: Tam sayıları 0 < 2 < 3 olduğundan;
0,475 < 2,08 < 3,7
Ondalık Sayılarda Yuvarlak Yapma:
Bir ondalık sayı yuvarlak yapmak demek, bu sayıya yaklaşık olarak eşit olan daha az basamaklı bir ondalık sayıyı bulmak demektir.
Bir ondalık sayıyı istenilen basamağında yuvarlak yapmak için;
1. İstenilen basamağın sağındaki rakama bakılır. Bu rakamın sayı değeri;
· 5 veya 5’ten büyükse istenilen basamağın sayı değeri 1 arttırılıp, sağındaki basamaklar atılır.
· 5’ten küçük ise istenilen basamağın sayı değeri aynen alınıp sağındaki basamaklar atılır.
Örnek: 3,2471 ondalık kesrini, yüzde birler basamağında yuvarlak yapalım.
Çözüm: Yüzde birle basamağının sağındaki rakam 7’dir. 7 > 5 olduğundan birler basamağındaki 4 sayısına 1 ekleyip sağdakileri atarız o halde;
3, 2471 » 3,25’tir.
Matemetik Sistemler
Modüler Aritmetik:
Yeni Toplamam İşlemi:
Örnek: Sabah saat 8’de evden çıkan bir öğrenci saat 7 sonra tekrar eve dönüyor. Öğrenci eve döndüğünde saatin kaçı gösterdiğini bulalım.
Çözüm: 8 + 7 = 15
Saat üzerinde 15 sayısı yoktur. Saat üzerinde 1’den 12’ye kadar olduğundan, 15 sayısını 12 sayısına böleriz. Kalan sorumuzun cevabıdır. 12 sayısına da saat aritmetiğinin modülü denir.
8 Å 7 º 3 (mod 12) biçiminde yazarız.
Yeni Çarpma İşlemi:
Yeni çarpma işleminde de verilen sayılar çarpılır. Çarpım modüle eşit veya modülden büyükse, modüle böleriz ve kalanı sonuç olarak alırız.
Örnek: 5 Ä 8 º x (mod 
işlemindeki x sayısını bulalım.
Çözüm: 5 . 8 = 40 ve 40’ın 7’ye bölümünden kalan 5 olduğundan;
5 Ä 8 º 5 (mod 7) dir. X = 5 tir.
Kalan bulmak:
Örnek: 12124 sayısının 5 ile bölümünden kalan kaçtır?
Çözüm: 12124 º x (mod 5)
12 º 2 (mod 5)
122 º 4 (mod 5)
(122)2 º 42 (mod 5)
(124)31 º 131 (mod 5)
12124 º 1 (mod 5)
¯
kalan
Pratik Kalan Bulmak:
· Tabanın, verilen modüle bölümünden kalan sıfır ise sonuç sıfırdır.
Örnek: 2165 ‘in 3’e bölümünden kalanı bulalım.
Çözüm: 21 sayısının 3 ile bölümünden kalan sıfır olduğundan sonuç sıfırdır. Yani 2115 º 0 (mod 3)
· Tabanın verilen modüle bölümünden kalan 1 ise sonuç 1 dir.
Örnek: 572 º x (mod 4) ifadesindeki x ’i bulalım.
Çözüm: 5 sayısının 4 ile bölümünden kalan 1 olduğundan sonuç 1 dir. Yani 572 º 1 (mod 4)
İrrasyonel Sayılar
İrrasyonel Sayılar:
· Her rasyonel sayının devirli bir ondalık açılımı olduğunu ve sayı ekseninde belirli bir yerinin olduğunu biliyorsunuz. Örneğin;
2 = 0,4
5
· Ondalık açılımı devirli olmayan bir çok sayı vardır. Bu sayıların rasyonel karşılığı yoktur. Örneğin;
p = 3,1415926...
· Karesi 2’ye eşit olan bir rasyonel sayı bulamayız. Bu sayıyı Ö2 şeklinde gösteririz.
12 = 1
Bu işleme devam edersek karesi 2’yi veren bir rasyonel sayının olmadığını görürüz.
O halde Ö2 sayısı sayı ekseninde 1 ile 2 arasındaki bir noktaya karşılık gelir.
1 < Ö2 < 2
Ö2 gibi rasyonel sayı karşılığı olmadığı halde sayı ekseninde bir görüntü noktası olan sayılara İRRASYONEL SAYILAR denir.
İrrasyonel sayılar, I ile gösterilir.
· Rasyonel sayılar kümesi ile irrasyonel sayılar kümesinin birleşimi Reel Sayılar kümesini verir. Reel sayılar R ile gösterilir.
Q È I = R
I Ì R ise
N Ì Z Ì Q Ì R
Köklü Sayılar:
A bir reel sayı ve m, 1’den büyük bir tamsayı mÖa sayısına a sayısının m inci kuvvetten kökü denir.
m sayısına da kökün derecesi denir.
· M pozitif tek tamsayı ise mÖa sayısı bir reel sayıdır.
3Ö5 reel sayıdır.
· m pozitif çift tamsayı ise mÖa sayısı bir reel sayı değildir.
Ö5 reel sayıdır.
Not: Ö-1 sayısı reel sayı değildir. Çünkü hiç bir reel sayı ( - ) değerde olamaz.
Karekök İçindeki İfadenin Kök Dışına Çıkarılması:
Karekök içinde çarpım veya bölüm durumunda verilen ifadeler, 2 veya 2’nin katı kuvvetinde yazılabilirse karekök dışında çıkarılabilirler.
Öa2m = am
Öa2 . b2 = a . b
Örnek: Ö4 = Ö2 = 22/2 = 2
Kareköklü bir sayıyı aÖb şeklinde yazmak:
Örnek: Ö32 = Ö16.2 = Ö16 . Ö2 = 4Ö2
Rasyonel Sayıların Karekökü:
Örnek: Ö16 = Ö42 = 4
121 112 11
Uyarı: Tam sayılı olan kesirler birleşik kesirlere çevrilerek,pay ve paydanın ayrı ayrı karekökleri alınır.
Ondalık Sayıların Karekökü:
Ondalık sayıların virgülden sonraki basamak sayıları çift ise tam karekökleri olabilir.
Örnek: Ö0,04 sayısının eşitini bulalım.
Çözüm: Ö0,04 = Ö4 = 2 = 0,2
100 10
Karekök dışındaki çarpanın kök içine alınması:
Kareköklü sayının katsayısının kök içine almak için katsayısının karesini kök içindeki sayı ile çarpar, kök içine yazarız.
aÖb = Öa2 .b
Örnek: 2Ö3 = Ö22 . 3 = Ö4 . 3 = Ö12
Toplama ve Çıkarma:
Kareköklerin içindeki sayılar aynı ise katsayılar toàØÂÜɢà@ÖÂèæÂòɢ@ÞØÂäÂÖ@òÂôɢØɢä@äèÂÖ@ǖìÖ@ÖÂèæÂòɢÜɢÜ@òÂÜɢÜÂŀÎÂäàɢÚ@ÈêäêÚêÜÈÂ@òÂôɢØɢäPÂ@V@PÂ@z@dPÂ̬äÜÊÖt@dPf@Z@jPf@V@Pf@@@ÒʾØÊÚÒÜÒÜ@æÞÜêÆêÜê@ÄêØÂØɢÚĚƎìǴøÚtdPf@Z@jPf@V@Pf@z@PdZjVbR@Pf@z@@ZdPfĚÂäàÚÂtÂäÊǖìÖ@ǒÎÒÜÈÊ@ìÊäÒØÊÜ@æÂòɢØÂäŀÎÂäàɢØɢàX@ǖìÖ içine yazılır. Mümkünse kök dışına çıkarma işlemi yapılır.
Öa . Öb = Öa .b ve Öa . Öa = Öa2 = a
Örnek: Ö5 . Ö3 = Ö5 . 3 = Ö15
Kareköklü sayının n. kuvveti kök içindeki sayının n. kuvvetidir.
(Öa)n = Öan
Örnek: (Ö7)2 = Ö72 = 7
Bölme:
Karekök içinde verilen sayılar bölünüp kök içine yazılır. Sadeleştirmeler yapılıp mümkünse kök dışına çıkarılır.
Öa = Ö a
Öb b
Ö32 = Ö 32 = Ö8 = 2Ö2
Ö4 4
Paydayı Rasyonel Yapmak (Kökten Kurtarmak):
Paydayı kökten kurtarmak için pay ve paydayı paydanın eşleniği ile çarparız.
· Öa nın eşleniği Öa ve Öa . Öa = a dır.
· Öa + Öb nin eşleniği Öa - Öb ve (Öa + Öb) . (Öa - Öb) = a - b
1. Paydada Öa varsa:
Pay ve paydayı Öa ile çarparız.
Örnek: 1 = 1 . Ö2 = Ö2
Ö2 Ö2 . Ö2 2
2. Paydada Öa + Öb varsa:
Pay ve paydayı Öa - Öb ile çarparız.
Örnek: 5 = 5 . (2 - Ö3) .
2+Ö3 (2+Ö3) . (2 - Ö3)
= 5 . (2- Ö3)
22 – (Ö3)2
= 10 - 5Ö3 = 10 - 5Ö3
4-3
işlemindeki x sayısını bulalım.